Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
On désigne par {A} un élément de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.

On munit {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} de {\left\|A\right\|=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|}.

  1. Montrer que : {\forall\,\lambda\in\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A),\;\left|\lambda\right|\le \left\|A\right\|}.
  2. Pour tout {b\in\mathbb{N}^{*}}, on note :{J_{b}=\{k\in\mathbb{Z},\;-b\le k\le b\}}Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} à coefficients dans {J_{b}}.

    Soit {\lambda\in\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A)}, non nulle.

    Prouver que {\left|\lambda\right|\ge {\left\|A\right\|}^{1-n}}.

  3. Soit {P=X^n-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}X^k}, où les {a_{k}\in J_{b}}.

    • Calculer le polynôme caractéristique de {A=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&a_{0}\cr1&0&\ddots&\vdots&a_{1}\cr0&1&\ddots&0&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&0&a_{n-2}\cr0&\cdots&0&1&a_{n-1}\end{pmatrix}}
    • Soit {\lambda} une racine non nulle de {P}.
      Avec ce qui précède, quel encadrement obtient-on pour {\left|\lambda\right|}?

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