Exercice (oral Centrale/Supélec)
On note {\text{Sp}(M)} le spectre de {M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})},
| Question 1 Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}. On définit {\theta_A : X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto AX}. Montrer que {A} et {\theta_A} ont le même spectre. |
| Question 2.a Soit {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie. Soit {v,w} dans {\mathcal{L}(E)} tels que {vw=wv}. On admet qu’il existe une base de {E} dans laquelle les matrices de {v} et {w} sont triangulaires. Que peut-on en déduire sur le spectre de {u=v+w} ? |
| Question 2.b Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, à spectres disjoints. Montrer que : {\forall\, Y\!\in\!\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\exists\,!\,X\!\in\!\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;AX\!-\!XB=Y}Indication : introduire {\Psi_B : X \mapsto XB}. |
On suppose désormais que {A} et {B} sont deux matrices symétriques de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
On suppose également que : { \forall (\lambda,\mu) \in \text{Sp}(A) \times \text{Sp}(B), \; |\lambda| > |\mu|}L’espace {\mathbb{R}^n} est muni de sa structure euclidienne canonique dont la norme est notée {\| \, \|}.
On munit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de : {N(M) =\!\!\!\sup\limits_{ X \in \mathbb{R}^n \backslash \{0 \}}\!\!\!\dfrac{\| MX \|}{\| X \|}}
| Question 3.a Montrer que {N(A)=\max \{ |\lambda|, \lambda \in \text{Sp}(A) \}}. |
| Question 3.b Vérifier que pour {M} et {N'} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, on a {N(MM')\le N(M)N(M')}. |
| Question 3.c Soit {Y\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Montrer qu’il existe {X} unique dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} telle que {AX-XB=Y}. |
| Question 3.d Montrer que {X=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} A^{-n-1} Y B^n}. |