L’équation matricielle AX-XB=Y

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {\text{Sp}(M)} le spectre de {M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})},

Question 1
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}.
On définit {\theta_A : X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto AX}.
Montrer que {A} et {\theta_A} ont le même spectre.
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Question 2.a
Soit {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie.
Soit {v,w} dans {\mathcal{L}(E)} tels que {vw=wv}.
On admet qu’il existe une base de {E} dans laquelle les matrices de {v} et {w} sont triangulaires. Que peut-on en déduire sur le spectre de {u=v+w} ?
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Question 2.b
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, à spectres disjoints.
Montrer que : {\forall\, Y\!\in\!\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\exists\,!\,X\!\in\!\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;AX\!-\!XB=Y}Indication : introduire {\Psi_B : X \mapsto XB}.
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On suppose désormais que {A} et {B} sont deux matrices symétriques de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.

On suppose également que : { \forall (\lambda,\mu) \in \text{Sp}(A) \times \text{Sp}(B), \; |\lambda| > |\mu|}L’espace {\mathbb{R}^n} est muni de sa structure euclidienne canonique dont la norme est notée {\| \, \|}.

On munit {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de : {N(M) =\!\!\!\sup\limits_{ X \in \mathbb{R}^n \backslash \{0 \}}\!\!\!\dfrac{\| MX \|}{\| X \|}}

Question 3.a
Montrer que {N(A)=\max \{ |\lambda|, \lambda \in \text{Sp}(A) \}}.
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Question 3.b
Vérifier que pour {M} et {N'} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, on a {N(MM')\le N(M)N(M')}.
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Question 3.c
Soit {Y\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Montrer qu’il existe {X} unique dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} telle que {AX-XB=Y}.
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Question 3.d
Montrer que {X=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} A^{-n-1} Y B^n}.
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