Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.

  1. Montrer que si {u} est nilpotent et {u^{n-1}\neq 0}, il existe un vecteur cyclique.
  2. Même question si {u} possède {n} valeurs propres distinctes.
  3. Si {u} est supposée diagonalisable, montrer que la réciproque de (2) est vraie.

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