Existence d'un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

Montrer que si ${u}$ est nilpotent et ${u^{n-1}\neq 0}$ , il existe un vecteur cyclique.
Même question si ${u}$ possède ${n}$ valeurs propres distinctes.
Si ${u}$ est supposée diagonalisable, montrer que la réciproque de (2) est vraie.

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