| (Oral Centrale 2018) Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}. On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}. Montrer que {\text{Ker}(v)=\text{Im}(v^2)}. Montrer qu’il existe une base de {E} où {v} a pour matrice {A=\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}. |