Exercice (oral Centrale/Supélec)
{\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, de polynôme caractéristique scindé dans {\mathbb{K}}.
On note {g} et {d} les endomorphismes de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} définis par {g(M)=AM} et {d(M)=MA}.
On note enfin {\varphi=g+d}.
Ainsi : {\forall\,M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\varphi(M)=AM+MA}.
| Question 1.a Montrer que le spectre de {g} dans {\mathbb{K}} est celui de {A}. |
| Question 1.b En déduire que le spectre de {d} dans {\mathbb{K}} est également celui de {A}. |
| Question 2 Vérifier que {g} et {d} commutent. On admet que cela implique qu’il existe une base de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} dans laquelle les matrices de {g} et {d} sont simultanément triangulaires supérieures. En déduire que le spectre de {\varphi} dans {\mathbb{K}} est :{\text{Sp}(\varphi)=\{\lambda+\mu,\;\lambda\in\text{Sp}(A),\;\mu\in\text{Sp}(A)\}} |
| Question 3 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de {A} dans {\mathbb{K}} pour que l’application {\varphi} soit un automorphisme de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. |