Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Soit {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie.
Soient {u,v} des endomorphismes de {E} tels que: {\exists\,a\in\mathbb{C}^{\star},\exists\,b\in\mathbb{C},\;uv-vu=au+bv}On suppose dans les quatre premières questions que {b=0}.

  1. Montrer que {\text{Ker}\,u} est stable par {v}.
  2. Soit {\varphi} l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {\varphi(f)=fv-vf}.
    Montrer que : {\forall\,n\geq 1,\;\varphi (u^{n})=a\,n\,u^{n}}
  3. Montrer qu’il existe un entier {n} tel que {u^{n}=0}.
  4. Montrer que {u} et {v} admettent un vecteur propre commun.
  5. Dans le cas général, montrer que {u} et {v} admettent un vecteur propre commun.

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