Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{C}}

-espace vectoriel de dimension finie.
Soient

{u,v}

des endomorphismes de

{E}

tels que:

{\exists\,a\in\mathbb{C}^{\star},\exists\,b\in\mathbb{C},\;uv-vu=au+bv}

On suppose dans les quatre premières questions que

{b=0}

Montrer que ${\text{Ker}\,u}$ est stable par ${v}$ .
Soit ${\varphi}$ l’endomorphisme de ${\mathcal{L}(E)}$ défini par ${\varphi(f)=fv-vf}$ .
Montrer que : ${\forall\,n\geq 1,\;\varphi (u^{n})=a\,n\,u^{n}}$
Montrer qu’il existe un entier ${n}$ tel que ${u^{n}=0}$ .
Montrer que ${u}$ et ${v}$ admettent un vecteur propre commun.
Dans le cas général, montrer que ${u}$ et ${v}$ admettent un vecteur propre commun.

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