QCM (réduction, partie 2)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Réduction ».
Réduction des endomorphismes
QCM (réduction, partie 1)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Réduction ».
Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.
Une algèbre de matrices 3×3
(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
Spectre de sous-matrices principales
(Oral Centrale) Soit {A} une matrice symétrique réelle, et {B} une sous-matrice principale de {A}. On montre que si {B} est à spectre simple, alors il en est de même de {A}, et les valeurs propres de {B} séparent celles de {A}.
Espace de matrices toutes diagonalisables
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.
Sous-algèbre sans nilpotents
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
Réduction de matrices par blocs
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
Matrices magiques et valeurs propres
(Oral Centrale) Pour toute matrice {A} magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.
Puissances d’un endomorphisme de L(E)
(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=(au+ua)/2}, selon les propriétés de l’endomorphisme {a} de {E}.
Itérations de f(M)=(AM+MA)/2
(Oral Centrale) On se donne une matrice {A} carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de {\mathcal{M}_3(\mathbb{K})} défini par {f(M)=(AM+MA)/2}.
Itération matricielle et approximation
(Oral Centrale) Soit une matrice carrée {A} d’ordre {n}, dépendant d’un paramètre {m}. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de {A} pour la valeur propre de plus grand module.
L’application matricielle M -> AM+MA
(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur {\mathcal{M}_{n}(\K)} par {\varphi(M)=AM+MA}, où {A} est une matrice à polynôme caractéristique scindé.
L’équation matricielle AX-XB=Y
(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle {AX-XB=Y}, où {A} et {B} sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution {X} sous forme de série matricielle.
Sous-espace de matrices qui commutent
(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})} formé de matrices qui commutent deux à deux.
Une preuve de Cayley-Hamilton
(Oral Centrale) On établit ici le théorème de Cayley-Hamilton par une méthode à base de calcul intégral et de série entière matricielle.
Autour du produit de Kronecker
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Triplets rectangulaires
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
Sous-espaces de matrices nilpotentes
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.