(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
(Oral Centrale) Soit {A} une matrice symétrique réelle, et {B} une sous-matrice principale de {A}. On montre que si {B} est à spectre simple, alors il en est de même de {A}, et les valeurs propres de {B} séparent celles de {A}.
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
(Oral Centrale) Pour toute matrice {A} magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.
(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=(au+ua)/2}, selon les propriétés de l’endomorphisme {a} de {E}.
(Oral Centrale) On se donne une matrice {A} carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de {\mathcal{M}_3(\mathbb{K})} défini par {f(M)=(AM+MA)/2}.
(Oral Centrale) Soit une matrice carrée {A} d’ordre {n}, dépendant d’un paramètre {m}. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de {A} pour la valeur propre de plus grand module.
(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur {\mathcal{M}_{n}(\K)} par {\varphi(M)=AM+MA}, où {A} est une matrice à polynôme caractéristique scindé.
(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle {AX-XB=Y}, où {A} et {B} sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution {X} sous forme de série matricielle.
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.