Suite récurrente et arithmétique

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On dit que {z\in\mathbb{C}} est un entier algébrique s’il existe un polynô}me {P\in \mathbb{Z}[X]} unitaire tel que {P(z)=0}.

On note {\widehat{\mathbb{Z}}} l’ensemble des entiers algébriques.

On admet que {\widehat{\mathbb{Z}}} est un sous-annneau de {\left( \mathbb{C},+,\times \right) }.

Question 1
Soient {z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}} des nombres complexes.
Démontrer que pour tout entier {p\geqslant 1} :{\begin{array}{l} \left( z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}\right) ^{p}\\[6pt]=\displaystyle\sum_{\substack{ \left( k_{1}k_{2},\ldots ,k_{n}\right) \in \left[0,p\right]^{n} \\[3pt] k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}=p}}\dfrac{p!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{n}!}z_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\cdots z_{n}^{k_{n}}\end{array}}
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Question 2
Démontrer que {\widehat{\mathbb{Z}}\cap \mathbf{Q}=\mathbb{Z}}.
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Dans cette question {p} est un nombre premier.

Question 3.a
Soit {\left( k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\right) \in \left[0,p-1\right] ^{n}} tel que :{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}=p}Montrer que {\dfrac{(p-1)!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{n}!}} est un nombre entier.
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Question 3.b
Soit {(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \widehat{\mathbb{Z}}^{n}}. Montrer que :{S=\left( z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}\right)^{p}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}z_{i}^{p}\in p\,\widehat{\mathbb{Z}}}
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Soit {(u_n)_{n\ge0}} la suite définie par :{\begin{cases}u_0= 5,\;u_1= u_2= u_3= 0,\;u_4= 4\\\forall\,n\ge0,\;u_{n+5}= u_{n+1}+u_{n}\end{cases}}
Question 4c
On considère la matrice {A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}}
Montrer que : {\forall\,k\in\mathbb{N},\;u_{k}=\text{Tr}\left(A^{k}\right) }.
En déduire que pour tout nombre premier {p}, l’entier {u_{p}} est divisible par {p}.
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