Matrices semblables de rang 1 ou 2

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n}.

Un endomorphisme {u} de {E} est dit nilpotent d’indice {k} (avec {k\in\mathbb{N}^{*}}) si {\begin{cases}u^{k-1} \neq 0\\u^{k}= 0\end{cases}}

Soit {u} un endomorphisme de {E}.

Question 1.a
Montrer que, pour tout {k\in\mathbb{N}} : {\text{Ker}(u^k)=\text{Ker}(u^{k+1})\Rightarrow\text{Ker}(u^{k+1})=\text{Ker}(u^{k+2})}
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Question 1.b
En déduire que si {u} est un endomorphisme nilpotent d’indice {k} alors : {k \leq \text{rang}(u)+1}.
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Soit {u} et {v} dans {\mathcal{L}(E)}, de rang {1} et nilpotentes.

Question 2.a
Quel est leur indice de nilpotence?
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Question 2.b
Montrer que {u} et {v} sont semblables.
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Soit {u,v} deux endomorphismes de {E}, de rang {2}.

Question 3.a
Montrer que si {u,v} ont le même polynôme minimal {(X-1)X^2}, alors {u} et {v} sont semblables.
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Question 3.b
Montrer que si {u} et {v} sont nilpotents de même indice {k}, alors {u} et {v} sont semblables.
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