Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n}.
Un endomorphisme {u} de {E} est dit nilpotent d’indice {k} (avec {k\in\mathbb{N}^{*}}) si {\begin{cases}u^{k-1} \neq 0\\u^{k}= 0\end{cases}}
Soit {u} un endomorphisme de {E}.
Question 1.a
Montrer que, pour tout {k\in\mathbb{N}} : {\text{Ker}(u^k)=\text{Ker}(u^{k+1})\Rightarrow\text{Ker}(u^{k+1})=\text{Ker}(u^{k+2})}
Montrer que, pour tout {k\in\mathbb{N}} : {\text{Ker}(u^k)=\text{Ker}(u^{k+1})\Rightarrow\text{Ker}(u^{k+1})=\text{Ker}(u^{k+2})}
Question 1.b
En déduire que si {u} est un endomorphisme nilpotent d’indice {k} alors : {k \leq \text{rang}(u)+1}.
En déduire que si {u} est un endomorphisme nilpotent d’indice {k} alors : {k \leq \text{rang}(u)+1}.
Soit {u} et {v} dans {\mathcal{L}(E)}, de rang {1} et nilpotentes.
Question 2.a
Quel est leur indice de nilpotence?
Quel est leur indice de nilpotence?
Question 2.b
Montrer que {u} et {v} sont semblables.
Montrer que {u} et {v} sont semblables.
Soit {u,v} deux endomorphismes de {E}, de rang {2}.
Question 3.a
Montrer que si {u,v} ont le même polynôme minimal {(X-1)X^2}, alors {u} et {v} sont semblables.
Montrer que si {u,v} ont le même polynôme minimal {(X-1)X^2}, alors {u} et {v} sont semblables.
Question 3.b
Montrer que si {u} et {v} sont nilpotents de même indice {k}, alors {u} et {v} sont semblables.
Montrer que si {u} et {v} sont nilpotents de même indice {k}, alors {u} et {v} sont semblables.