Sur les matrices de rang 1

(Oral CCInp)
Soit {H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, de rang {1}, de trace {\delta}.

  1. Montrer : {\exists\, A\in{\mathcal M}_{n,1}(\mathbb{C}),\;\exists\, B\in{\mathcal M}_{1,n}(\mathbb{C}),\;H=AB}
    Montrer que {H^{2}=\delta H}.
  2. Donner le polynôme caractéristique de {H}.
  3. Donner une CNS pour que {I_{n}+H} soit inversible.
    Calculer alors {(I_{n}+H)^{-1}}.

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