Réduction des endomorphismes

200 exercices sur le thème « Réduction des endomorphismes »

Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.

Jetons bicolores

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty

Réduction simultanée

(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.

Endomorphisme et polynômes

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}. En fonction des racines de A, ou B, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à P associe le reste dans la division de {AP} par {B}.

Diagonalisation et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. On suppose que {B=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n}\\ A&A\end{pmatrix}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable et que {I_{n}-A} est inversible.