Réduction des endomorphismes Exercices corrigés

Réduction des endomorphismes

200 exercices sur le thème « Réduction des endomorphismes »

Commutant d’un endo scindé simple

Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

(où

{\dim(E)=n\ge1}

) ayant

{n}

valeurs propres distinctes.
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

. Montrer

{uv=vu}

si et seulement si

{v}

s’écrit

{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}

➡️

Réduction endomorphisme de K_n[X]

Pour tout polynôme

P

, on note

\varphi(P)

le polynôme

X(X-1)P'-nXP

.
Montrer que

{\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}

, et en donner les éléments propres.

➡️

Condition de non diagonalisabilité

Dire pour quel(s)

{a}

la matrice

{A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}}

n’est pas diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité sans calcul

Dire, sans calculs, pourquoi la matrice

{A=}

{\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}}

est diagonalisable.

➡️

Polynôme caractéristique de M^-1

Soit

{M}

une matrice de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de

{M^{-1}}

en fonction de celui de

{M}

➡️

Polynômes caractéristiques de AB et BA

Soient

{A}

{B}

deux matrices de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

{AB}

{BA}

ont le même polynôme caractéristique.

➡️

Valeurs propres de uv et de vu

Soit

{u}

{v}

deux endomorphismes d’un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.

➡️

Pas de polynôme annulateur non nul

Montrer le seul polynôme annulateur de

u,v,w

(éléments de

\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])

est

0

{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}

➡️

Équation matricielle M² + M^T = I_n

(Oral Ccp)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

vérifiant

{M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}

.
1. Montrer que

{M}

est diagonalisable.
2. Montrer que

{M}

est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de

{M}

➡️

Récurrence vectorielle

(Oral Ccp)
On étudie une récurrence vectorielle

U_{n+1}=AU_{n}

en diagonalisant la matrice

A

➡️

Équation M²-M+M^T=I_n

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre

{M^{2}-M+{M}^{\top}=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Trace rationnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension

{n}

{f\in \mathcal{L}(E)}

tel que :

{f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0}

{\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}

.
Montrer que

{n}

est un multiple de

{3}

➡️

Égalité matricielle et trace

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

{\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}

➡️

Diagonalisation d’une matrice en zig-zag

(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre

2n

) :

{A_n=}

{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}

➡️

Diagonalisation et blocs

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}

où

{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Déterminer

{\text{rg}(A)}

{\text{rg}(A^{2})}

. La matrice

{A}

est-elle diagonalisable?

➡️

Polynômes caractéristique et minimal

(Oral Ccp)
Soit

A

dans

{\mathcal M}_{5}(\mathbb{R})

inversible, telle que

\text{tr}(A)=6

{A^{3}-3A^{2}+2A=0}

. Donner le polynôme caractéristique de

{A}

, et son polynôme annulateur unitaire minimal.

➡️

Transposition et diagonalisation

(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de

{\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}

➡️

Diagonalisation et puissances

(Oral Ccp)
Soit

{M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Diagonaliser

{M}

. Calculer

{M^{p+1}}

pour tout

{p\ge0}

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Spectre de M^T M et de M M^T

(Oral XCachan)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}

.
Comparer le spectre de

{{M}{M}^{\top}}

et de

{{M}^{\top}M}

➡️

Endomorphismes tels que f² = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie. Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

avec

{f^2=-\text{Id}_{E}}

. On montre que dans une certaine base de

E

la matrice de

f

est diagonale par blocs égaux à

{R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

➡️

Diagonalisation et polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que

{\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)}

est diagonalisable dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

➡️

Racine carrée matricielle

(Oral Ccp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

de matrice

{A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}}

dans la base canonique.
Existe-t-il

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

telle que

g^2=f

➡️

Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

où

{bcd\neq 0}

➡️

Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

➡️

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

➡️

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

➡️

Trace et diagonalisation

(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de

{\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}

➡️

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit

{X_1,X_2,Y}

trois v.a.r. indépendantes.
On suppose

{\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}

, et

{\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}

On pose

{M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}

.
Probabilité que

{M}

soit diagonalisable dans

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

➡️

Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

➡️

A⁴=A² et diagonalisabilité

(Oral XCachan Psi)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. On suppose que

{-1,1}

sont valeurs propres de

{A}

, et que

{A^{4}=A^{2}}

.
Si

n=3

, montrer que

{A}

est diagonalisable. Et si

{n\ge4}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Ccem)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

telles que

{A^{2}=B=}

{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Ccp)
Soient

f,u,v

dans

{{\mathcal L}(E)}

tels que

{f^k=a^ku+b^kv}

avec

a,b

non nuls, et

0\le k\le 2

.
Montrer que

{f}

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité de A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

une matrice telle que

{A^{2}}

soit diagonalisable.
Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si

{\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}

.
Étudier le cas où la matrice

A

est antisymétrique réelle.

➡️

Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Soient

{\lambda,\mu}

dans

{\mathbb{C}}

, distincts et non nuls.
On suppose que

{I_{n}= A + B}

{M = \lambda A + \mu B}

, et

{M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}

.
Montrer que

{A,B}

sont des projecteurs et que

M

est diagonalisable.

➡️

Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

.
Montrer que si

A,B

sont diagonalisables,

\varphi

est diagonalisable (deux méthodes)

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

➡️