Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Soient {n\in \mathbb{N}} et {(a,b)\in \mathbb{R}^{2}}.
Pour {P\in\mathbb{R}_{n}[X]}, on pose : {f(P)=(X-a)(X-b)P^{\prime}-nXP}.

  1. Montrer que {f} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
  2. Donner la matrice {M} de {f} dans la base canonique de {\mathbb{R}_{n}[X]}.
  3. Écrire un programme Python renvoyant {M}.
  4. Écrire un programme donnant les valeurs propres de cette matrice.
  5. Si {a\neq b}, {f} est-elle diagonalisable ?
  6. Si {a=b}, {f} est-elle diagonalisable?

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