Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Soient

{n\in \mathbb{N}}

{(a,b)\in \mathbb{R}^{2}}

.
Pour

{P\in\mathbb{R}_{n}[X]}

, on pose :

{f(P)=(X-a)(X-b)P^{\prime}-nXP}

Montrer que ${f}$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}_{n}[X]}$ .
Donner la matrice ${M}$ de ${f}$ dans la base canonique de ${\mathbb{R}_{n}[X]}$ .
Écrire un programme Python renvoyant ${M}$ .
Écrire un programme donnant les valeurs propres de cette matrice.
Si ${a\neq b}$ , ${f}$ est-elle diagonalisable ?
Si ${a=b}$ , ${f}$ est-elle diagonalisable?

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