Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A} et {B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.

  1. Montrer que {\varphi= 0} si et seulement si {A = 0} ou {B = 0}.
  2. Montrer que {\varphi} est nilpotente si et seulement si {A} ou {B} est nilpotente.
  3. On suppose {A} et {B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. On va montrer que {\varphi} est diagonalisable dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}))}.

    • Soit {\alpha,\beta} dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}))} définis par : {\alpha(M)=AM} et {\beta(M)=MB}.
      Montrer que {\alpha} et {\beta} sont diagonalisables dans {\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}))}.
    • Montrer plus précisément qu’il existe une base de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} formée de vecteurs propres à la fois pour {\alpha} et {\beta}.
    • En déduire que {\varphi} est diagonalisable.
  4. Retrouver le résultat de la question (3c), mais sans l’aide de {\alpha} et {\beta}, et en indiquant comment former une base de vecteurs propres de {\varphi} à partir d’une base de vecteurs propres de {A} et d’une base de vecteurs propres de {B^{\top}}.

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