Inversibilité et déterminant

(Oral Tpe)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec a_{i,j}=1 si j\equiv i\!+\!1\ [n]\!, et a_{i,j}=0 sinon. Soit {B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}.
Montrer : {B_p\in\text{GL}_{n}(\mathbb{C})\Leftrightarrow\text{pgcd}(n,p)=1}.
Complément : calculer \det(B_p).

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.