Espace de matrices toutes diagonalisables

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Question 1
On définit l’ensemble {\mathcal{E}=\left\{ \begin{pmatrix} -2x+3y & -6x+6y \\ x-y & 3x-2y \end{pmatrix}, (x,y) \in \mathbb{C}^2 \right\}}Montrer que {\mathcal{E}} est un plan vectoriel dont tous les éléments sont diagonalisables.
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Question 2
Soient {A=\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})} avec {\alpha \neq \beta}.
On suppose que {B+tA} est diagonalisable pour tout {t\in\mathbb{C}}. Montrer que {b=c=0}.
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Question 3.a
Soit {\mathcal{E}} un sous-espace de {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})} dont tous les éléments sont diagonalisables.
Montrer que {\dim(\mathcal{E})\le2}.
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Question 3.b
Soit {\mathcal{E}} un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} dont tous les éléments sont diagonalisables.
Montrer que {\dim(\mathcal{E})\le\dfrac{n(n+1)}{2}}.
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