Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace de dim finie et {u\in\mathcal{L}(E)}.
Soit {\mathcal{P}} la propriété suivante : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.

  1. On suppose que {u} vérifie {\mathcal{P}}.
    Montrer que {u} n’est pas diagonalisable.
  2. Soit {v\in\mathcal{L}(E)} et {\lambda\in\text{Sp}(v)}.
    On suppose {\text{Ker}(v-\lambda\text{Id})=\text{Ker}(v-\lambda \text{Id})^2}.
    Montrer que la multiplicité de {\lambda} dans {\text{Sp}(v)} est égale à la dimension du sous-espace propre associé.
  3. On suppose que {u} n’est pas diagonalisable.
    Montrer qu’il vérifie la propriété {\mathcal{P}}.

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