B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.

  1. Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
    Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
  2. Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?

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