Matrices semblables par blocs

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Question 1
Soient {a,b,c \in \mathbb{C}}.
On pose {M=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}}.
Les matrices {M} et {N} sont-elles semblables ?
Lorsque c’est le cas, exhiber une matrice {P\in \text{GL}_2(\mathbb{C})} telle que {PMP^{-1}=N}.
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Question 2
Soient {A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}. On pose {M=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}
et {N=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que {(a)\Leftrightarrow(b)\Leftrightarrow(c)} :

  • (a) les matrices {M} et {N} sont semblables.
  • (b) il existe {X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telle que {AX=B}.
  • (c) {\text{rang}(A | B)=\text{rang}(A)}.

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Question 3
Soit {A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ a & 7 & 2 \end{pmatrix}}.
Soit {M=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}.
Les matrices {M} et {N} sont-elles semblables?
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