Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

  1. Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} (sans la diagonaliser effectivement)
  2. Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
    Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.