Égalité matricielle AB-BA=B

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}

  1. Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
  2. Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
  3. Montrer que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)

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