Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)}. On note {\text{Sp}\left(A\right)} son spectre.
On pose {\rho \left(A\right)=\displaystyle\max_{\lambda \in \text{Sp}\left(A\right)}\left| \lambda\right| }.
On admet que {\rho \left(A\right) =\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}\left\| A^{p}\right\|^{1/p}}, pour toute norme {\left\| .\right\| } sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On note {\text{Com}(A)} la comatrice de la matrice {A}.
On note {\chi_{A}(X)=\det (XI_{n}-A)}.
Pour tout {r>\rho}, et tout {k\in \mathbb{Z}}, on pose :
{J\left(r,k\right) =\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}r^{k+1}e^{i(k+1)\theta}\left(re^{i\theta}I_{n}-A\right)^{-1}d\theta}
| Question 1 Justifier l’existence de {J\left(r,k\right)}. |
| Question 2 Calculer {J\left(r,k\right)} pour tout réel {r>\rho \left(A\right)} et pour tout entier naturel {k}. |
| Question 3 En déduire que, pour tout {r>\rho(A)}: {\chi_{A}(A)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}re^{i\theta}{}^{t}\text{Com}\left(re^{i\theta}I_{n}-A\right)d\theta} |
| Question 4 Déduire de ce qui précède une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton. |