Une preuve de Cayley-Hamilton

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {A\in \mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right)}. On note {\text{Sp}\left(A\right)} son spectre.

On pose {\rho \left(A\right)=\displaystyle\max_{\lambda \in \text{Sp}\left(A\right)}\left| \lambda\right| }.

On admet que {\rho \left(A\right) =\lim\limits_{p\rightarrow +\infty}\left\| A^{p}\right\|^{1/p}}, pour toute norme {\left\| .\right\| } sur {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.

On note {\text{Com}(A)} la comatrice de la matrice {A}.

On note {\chi_{A}(X)=\det (XI_{n}-A)}.

Pour tout {r>\rho}, et tout {k\in \mathbb{Z}}, on pose :
{J\left(r,k\right) =\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}r^{k+1}e^{i(k+1)\theta}\left(re^{i\theta}I_{n}-A\right)^{-1}d\theta}

Question 1
Justifier l’existence de {J\left(r,k\right)}.
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Question 2
Calculer {J\left(r,k\right)} pour tout réel {r>\rho \left(A\right)} et pour tout entier naturel {k}.
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Question 3
En déduire que, pour tout {r>\rho(A)}: {\chi_{A}(A)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}re^{i\theta}{}^{t}\text{Com}\left(re^{i\theta}I_{n}-A\right)d\theta}
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Question 4
Déduire de ce qui précède une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
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