Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {n\ge 2} un entier.
Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} contenant la matrice unité {I_n} et telle que le seul élément nilpotent de {\mathcal{A}} soit la matrice nulle.
On va démontrer que tous les éléments de {{\mathcal{A}}} sont diagonalisables et que {\dim({\mathcal{A}}) \le n}.
Soit {M} dans {\mathcal{A}} et soit {u} l’endomorphisme de {\mathbb{C}^n} canoniquement associé à {M}.
Soient {\pi} le polynôme minimal de {u}, {\lambda} une valeur propre de {u} et {m} sa multiplicité dans {\pi}.
Ainsi {\pi(X)=(X-\lambda)^m Q(X)} avec {Q(\lambda)\neq 0}.
On pose enfin :{F=\text{Ker}\,\left(u-\lambda \text{Id}\right)^m\;\text{et}\;G=\text{Ker}\,Q(u)}
| Question 1.a Montrer que {\mathbb{C}^n=F\oplus G}. On notera {p} le projecteur sur {F} parallèlement à {G}. |
| Question 1.b Montrer que {p} est un polynôme en {u} et en déduire que {\left(u-\lambda \text{Id}\right) p} est nilpotent. |
| Question 1.c Montrer que {u} est diagonalisable. |
| Question 2 On admet qu’il existe {P} inversible telle que {PMP^{-1}} soit diagonale pour tout {M} de {\mathcal{A}}. Démontrer que {\dim({\mathcal{A}})\le n}. |
| Question 3 Montrer qu’il existe une sous-algèbre commutative de {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}, contenant {I_n}, de dimension {n}, et contenant des éléments nilpotents non nuls. |