Sous-algèbre sans nilpotents

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n\ge 2} un entier.

Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} contenant la matrice unité {I_n} et telle que le seul élément nilpotent de {\mathcal{A}} soit la matrice nulle.

On va démontrer que tous les éléments de {{\mathcal{A}}} sont diagonalisables et que {\dim({\mathcal{A}}) \le n}.

Soit {M} dans {\mathcal{A}} et soit {u} l’endomorphisme de {\mathbb{C}^n} canoniquement associé à {M}.

Soient {\pi} le polynôme minimal de {u}, {\lambda} une valeur propre de {u} et {m} sa multiplicité dans {\pi}.

Ainsi {\pi(X)=(X-\lambda)^m Q(X)} avec {Q(\lambda)\neq 0}.

On pose enfin :{F=\text{Ker}\,\left(u-\lambda \text{Id}\right)^m\;\text{et}\;G=\text{Ker}\,Q(u)}

Question 1.a
Montrer que {\mathbb{C}^n=F\oplus G}.
On notera {p} le projecteur sur {F} parallèlement à {G}.
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Question 1.b
Montrer que {p} est un polynôme en {u} et en déduire que {\left(u-\lambda \text{Id}\right) p} est nilpotent.
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Question 1.c
Montrer que {u} est diagonalisable.
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Question 2
On admet qu’il existe {P} inversible telle que {PMP^{-1}} soit diagonale pour tout {M} de {\mathcal{A}}.
Démontrer que {\dim({\mathcal{A}})\le n}.
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Question 3
Montrer qu’il existe une sous-algèbre commutative de {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}, contenant {I_n}, de dimension {n}, et contenant des éléments nilpotents non nuls.
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