Racine n-ième d'une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent

{M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}}

avec

{M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}

${M}$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}$ ?
Est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}$ ?
Soit ${\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}}$ et ${R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}$
Montrer : ${\exists\,P\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C}),\;\exists\,k\in\mathbb{N},\;P^{-1}MP=R_{k}}$ .
Montrer : ${\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}$ .

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