Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}

  1. {M} est-elle diagonalisable dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}?
    Est-elle diagonalisable dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}?
  2. Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}
    Montrer : {\exists\,P\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C}),\;\exists\,k\in\mathbb{N},\;P^{-1}MP=R_{k}}.
  3. Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.

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