Cayley-Hamilton et matrice compagnon

(Oral Centrale)
On note {(E_{1},\ldots,E_{n})} la base canonique de {\mathbb{C}^{n}}.
Soit {P=X^{n}+\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{k}X^{k}\in \mathbb{C}[X]} et :{C_{P}=\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & -a_{1} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \\\vdots & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{n-1}\end{pmatrix}}

  1. Montrer que {C_{P}} est de rang au moins {n-1}.
    Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les racines de {P} pour que {C_{P} } soit de rang {n-1}.
  2. Calculer {C_{P}^{i}E_{1}} pour {i\in \lbrack 0,n]}.
    Montrer que {P(C_{P})E_{1}=0}.
    En déduire {P(C_{P})=0.}

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