Un exemple de trigonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.

  1. Montrer que {\begin{cases}\text{Ker}(u^{2})\subset \text{Im}(u)\\\dim(\text{Ker}(u^2))=2\end{cases}}
  2. Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.

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