Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.
Trigonalisation des matrices
Un exemple de trigonalisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.
Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.
Soit {u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2\ne 0} et {u^5=0}.
Montrer qu’il existe une base de {\mathbb{R}^3} dans laquelle la matrice de {u} est : {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.
Endomorphisme vérifiant u^3=u
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?
Matrice ortho-trigonalisable
(Oral Centrale 2018)
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {\chi_{M}} scindé dans {\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {R\in O(n)} telle que {R^{T} MR} soit triangulaire supérieure.
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {\chi_{M}} scindé dans {\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {R\in O(n)} telle que {R^{T} MR} soit triangulaire supérieure.
Exponentielle de matrice
(Oral Mines-Ponts 2018)
On étudie l’application {A\mapsto\exp(A)} dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}
On étudie l’application {A\mapsto\exp(A)} dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}
Spectre d’un polynôme de matrice
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} et {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}. Le résultat demeure-t-il pour {M\in\mathcal{M}_{n}}({\mathbb{R}}) et le spectre réel ?
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} et {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}. Le résultat demeure-t-il pour {M\in\mathcal{M}_{n}}({\mathbb{R}}) et le spectre réel ?
Matrices à puissances bornées
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})} telles que la suite {n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}} soit bornée.
Déterminer les {A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})} telles que la suite {n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}} soit bornée.
Racine n-ième matricielle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}\neq 0}.
Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}\neq 0}.
Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}.
Adhérence des matrices diagonalisables
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est l’ensemble des matrices trigonalisables.
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est l’ensemble des matrices trigonalisables.
Une trigonalisation 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}. Calculer A^3. Peut-on dia(tri)gonaliser A?
Une trigonalisation 5×5
Montrer que {A=}{\begin{pmatrix}1&0&-1&1&0\cr0&-2&0&0&0\cr1&0&1&0&1\cr1&0&0&1&1\cr0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}} est semblable à {J=}{\begin{pmatrix}-2&0&0&0&0\cr0&1&1&0&0\cr0&0&1&0&0\cr0&0&0&1&1\cr0&0&0&0&1\end{pmatrix}}
Une trigonalisation effective
Trigonaliser {A=\begin{pmatrix}-4&0&-2\cr0&1&0\cr5&1&3 \end{pmatrix}} et calculer {A^n}, pour tout {n\in\mathbb{Z}}.
Équation M2-M+MT=In
Racine carrée matricielle
(Oral Ccp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Matrice semblable à son opposée
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}. Alors ({A} est semblable à {-A}) {\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}.
Soit {A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}. Alors ({A} est semblable à {-A}) {\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}.
Trace et déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} dans {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})} telle que {\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}.
Montrer que {\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}.
Soit {A} dans {\mathcal{M}_3(\mathbb{C})} telle que {\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=0}.
Montrer que {\det(A^2+I_3)=1+(\det A)^2}.