Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
{f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
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