Sous-espaces de matrices nilpotentes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {\mathcal{T}^{+}} (resp. {\mathcal{T}^{-}}) l’ensemble des matrices réelles d’ordre {3} et qui sont strictement triangulaires supérieures (resp. inférieures).

Question 1.a
Que peut-on dire d’une matrice réelle nilpotente et symétrique?
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Question 1.b
Soit {\mathcal{E}} un sous-espace de {\mathcal{M}_3(\mathbb{R})} dont tous les éléments sont nilpotents.
Montrer que {\dim(\mathcal{E})\le \dfrac{n(n-1)}{2}}, et que ce majorant est en fait un maximum.
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Question 2
Soit {A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}.
Déterminer les {B\in\mathcal{T}^{-}} telles que les matices {B+tA} soient toutes nilpotentes.
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Question 3
Soit {\mathcal{E}} un sous-espace de {\mathcal{M}_3(\mathbb{R})} dont tous les éléments sont nilpotents.
Existe-t-il {P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})} telle que {\mathcal{E} \subset P\, \mathcal{T}^{+}\, P^{-1}}?
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Question 4.a
Soient {A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telles que {A,B} et {A+B} sont nilpotentes. En considérant {(A+B)^2}, montrer que {\text{Tr}(AB)=0}.
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Question 4.b
Pour {A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, on définit : {\,\theta_A : X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mapsto \text{Tr}(AX)}Montrer que l’application {A\mapsto \,\theta_A} est un isomorphisme de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} sur {\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\mathbb{C})}.
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Question 4.c
Soit {\mathcal{E}} un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} dont tous les éléments sont nilpotents.
Soit {k=\dim(\mathcal{E})} et {A_1,\ldots,A_k} une base de {{\mathcal E}}.
Montrer que {(I_n,A_1,\cdots,A_k)} est libre.
En déduire que {k \leq (n^2\!-\!1)/2}.
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