Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}, où {j=\text{e}^{2i\pi/3}}.

  1. La matrice {A} est-il diagonalisable ?
  2. Déterminer les sous-espaces stables par {A}.
  3. Déterminer la dimension de :{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

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