Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}.
Soit {\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})} une base de {E}.
Soit {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i} et {f\in\mathcal{L}(E)} défini par :{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}Trouver les éléments propres de {f}.
{f} est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?
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