Une trigonalisation 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}. Calculer A^3. Peut-on dia(tri)gonaliser A?
Réduction
Une trigonalisation 5×5
Montrer que {A=}{\begin{pmatrix}1&0&-1&1&0\cr0&-2&0&0&0\cr1&0&1&0&1\cr1&0&0&1&1\cr0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}} est semblable à {J=}{\begin{pmatrix}-2&0&0&0&0\cr0&1&1&0&0\cr0&0&1&0&0\cr0&0&0&1&1\cr0&0&0&0&1\end{pmatrix}}
Une trigonalisation effective
Trigonaliser {A=\begin{pmatrix}-4&0&-2\cr0&1&0\cr5&1&3 \end{pmatrix}} et calculer {A^n}, pour tout {n\in\mathbb{Z}}.
Diagonalisation simultanée
Soient {f} et {g} deux endomorphismes diagonalisables de {E}, avec {\dim(E)=n\ge1}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
Produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})} et {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
Réduction de matrices à paramètres
Diagonaliser les matrices {M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a\end{pmatrix}}, pour {(a,b,c)\in\mathbb{K}^3}.
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Réduction endomorphisme de Kn[X]
Pour tout polynôme P, on note \varphi(P) le polynôme X(X-1)P'-nXP.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Condition de non diagonalisabilité
Dire pour quel(s) {a} la matrice {A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}} n’est pas diagonalisable.
Diagonalisabilité sans calcul
Dire, sans calculs, pourquoi la matrice {A=}{\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}} est diagonalisable.
Polynôme caractéristique de M-1
Soit {M} une matrice de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Polynômes caractéristiques de AB et BA
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Valeurs propres de uv et de vu
Soit {u} et {v} deux endomorphismes d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Équation matricielle M2 + MT = In
(Oral Ccp)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Un système différentiel
(Oral Ccp)
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Récurrence vectorielle
Équation M2-M+MT=In
Trace rationnelle
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.
Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.
Égalité matricielle et trace
(Oral Mines-Ponts)
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Diagonalisation d’une matrice en zig-zag
(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.