Une trigonalisation 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}. Calculer A^3. Peut-on dia(tri)gonaliser A?
Réduction
Une trigonalisation 5×5
Montrer que {A=}{\begin{pmatrix}1&0&-1&1&0\cr0&-2&0&0&0\cr1&0&1&0&1\cr1&0&0&1&1\cr0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}} est semblable à {J=}{\begin{pmatrix}-2&0&0&0&0\cr0&1&1&0&0\cr0&0&1&0&0\cr0&0&0&1&1\cr0&0&0&0&1\end{pmatrix}}
Une trigonalisation effective
Trigonaliser {A=\begin{pmatrix}-4&0&-2\cr0&1&0\cr5&1&3 \end{pmatrix}} et calculer {A^n}, pour tout {n\in\mathbb{Z}}.
Diagonalisation simultanée
Soient {f} et {g} deux endomorphismes diagonalisables de {E}, avec {\dim(E)=n\ge1}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
On suppose que {fg=gf}. Montrer que {f} et {g} sont diagonalisables dans une même base {(e)} de {E}.
Produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})} et {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
On étudie les propriétés de l’opération \otimes.
Réduction de matrices à paramètres
Diagonaliser les matrices {M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a\end{pmatrix}}, pour {(a,b,c)\in\mathbb{K}^3}.
Commutant d’un endo scindé simple
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} (où {\dim(E)=n\ge1}) ayant {n} valeurs propres distinctes.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}. Montrer {uv=vu} si et seulement si {v} s’écrit {\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}u^{k}}.
Réduction endomorphisme de Kn[X]
Pour tout polynôme P, on note \varphi(P) le polynôme X(X-1)P'-nXP.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Montrer que {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{K}_n[X])}, et en donner les éléments propres.
Condition de non diagonalisabilité
Dire pour quel(s) {a} la matrice {A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&a&-1\\ 1&1&-1\end{pmatrix}} n’est pas diagonalisable.
Diagonalisabilité sans calcul
Dire, sans calculs, pourquoi la matrice {A=}{\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}} est diagonalisable.
Polynôme caractéristique de M-1
Soit {M} une matrice de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, inversible.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Exprimer le polynôme caractéristique de {M^{-1}} en fonction de celui de {M}.
Polynômes caractéristiques de AB et BA
Soient {A} et {B} deux matrices de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
Valeurs propres de uv et de vu
Soit {u} et {v} deux endomorphismes d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E}.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Comparer les valeurs propres de uv et celles de vu.
Équation matricielle M2 + MT = In
(Oral Ccp)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Un système différentiel
(Oral Ccp)
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Récurrence vectorielle
Équation M2-M+MT=In
Trace rationnelle
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.
Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.
Égalité matricielle et trace
(Oral Mines-Ponts)
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Diagonalisation d’une matrice en zig-zag
(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Diagonalisation et blocs
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Polynômes caractéristique et minimal
(Oral Ccp)
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Transposition et diagonalisation
(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisation et puissances
(Oral Ccp)
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Majoration de valeurs propres
(Oral Centrale)
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Soit {M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} de pol. caractéristique {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.
Spectre de MT M et de M MT
(Oral XCachan)
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Endomorphismes tels que f2 = -Id
(Oral Xcachan)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Diagonalisation et polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Racine carrée matricielle
(Oral Ccp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Réduction d’une matrice symétrique
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Minimum de (f(x)|x)
(Oral Ccp)
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Encore les quatre spots lumineux
(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.
M → AM-MA avec A symétrique réelle
(Oral Tpe)
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Un endomorphisme symétrique
(Oral Tpe)
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Inégalité entre trace et rang
(Oral Ccem)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Matrices telles que : A AT A = In
(Oral Ensea)
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
Un endomorphisme de matrices
(Oral Centrale)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.
Un endomorphisme de polynômes
(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} défini par {f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}
Étude de l’endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} défini par {f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}
Trace et diagonalisation
(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
A nilpotente réelle commutant avec AT
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Un exercice très improbable
(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Une condition d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
A4=A2 et diagonalisabilité
(Oral XCachan Psi)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Racines carrées matricielles
(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Valeur propre commune
(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Ccem)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Condition de diagonalisabilité
(Oral Ccp)
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.