Diagonalisabilité par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{AB=BA}

.
Soit

{M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}

Soit ${P\in \mathbb{C}[X]}$ . Exprimer ${P(M)}$ en fonction de ${P(A),P^{\prime}(A)}$ et ${B}$ .
Montrer que ${M}$ est diagonalisable si et seulement si ${A}$ est diagonalisable et ${B=0.}$

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