Réduction
Exercices corrigés sur le thème « réduction des matrices et des endomorphismes » pour Spé Mp, Pc, Psi (posés à Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour tout

{k\ge1}

.
Montrer que

{A}

est nilpotente (deux méthodes).

➡️

Polynôme annulateur et trace

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})}

telle que

{(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}

.
Montrer que

{\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}

➡️

Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=I_{3}}

, et

{b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

.
Résoudre l’équation

{Ax=x-b}

où

{x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

➡️

Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{\dim(E)=3n}

.
On suppose

{v^{3}=0}

{v^{2}\neq 0}

{\mathrm{rg} (v)=2n}

.
Montrer que

{\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}

.
Former une base où

{v}

a pour matrice

{\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

triangulaire supérieure de diagonale

{1,2,\ldots,n}

.
L’équation

{M^{2}=A}

admet-elle des solutions ? Combien ?

➡️

Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

➡️

det(u+v) ≥ det(u) + det(v)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace euclidien, et

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

tels que :

{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}

Montrer que

{\det (u+v)\geq \det u+\det v}

.
Étudier le cas d’égalité.

➡️

Exponentielle de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)
On étudie l’application

{A\mapsto\exp(A)}

dans

{\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}

➡️

Probabilité de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}}

avec

{\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}

.
Donner la loi du rang

{R}

{A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}

Probabilité que

{A}

soit diagonalisable?

➡️

Équation matricielle M M^T M = I_n

(Oral Mines-Ponts 2018)
Résoudre

{M\,M^{T}M=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

➡️

Spectre d’un polynôme de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

{P\in\mathbb{C}[X]}

. Montrer que

{P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}

. Le résultat demeure-t-il pour

{M\in\mathcal{M}_{n}}

(

{\mathbb{R}}

) et le spectre réel ?

➡️

A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in GL_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si

{A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}

➡️

(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

diagonalisables telles que

{A^{2}=B^{2}}

{A^{3}=B^{3}}

.
Montrer que

{A=B}

. Et si on ne suppose plus

{A,B}

diagonalisables?

➡️

Matrices à puissances bornées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})}

telles que la suite

{n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}}

soit bornée.

➡️

Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Dans un

{\mathbb{C}}

-ev

{E}

de dimension finie, on étudie les propriétés de

{u,v}

dans

{\mathcal{L}(E)}

tels que

{uv-vu=au+bv}

avec

{a\ne 0}

➡️

Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

un ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.

➡️

Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de

{\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}

➡️

Matrices avec vecteur propre donné

(Oral Centrale 2018)
Soit

{x\in\mathbb{R}^{n}}

non nul, et

{E_{x}}

l’ensemble des matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{x}

comme vecteur propre.
Montrer que

{E_{x}}

est un espace vectoriel, préciser sa dimension.

➡️

Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

➡️