Réduction
Exercices corrigés sur le thème « Réduction » pour Spé Mp,Mpi,Pc,Psi

Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Soient

{\lambda,\mu}

dans

{\mathbb{C}}

, distincts et non nuls.
On suppose que

{I_{n}= A + B}

{M = \lambda A + \mu B}

, et

{M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}

.
Montrer que

{A,B}

sont des projecteurs et que

M

est diagonalisable.

➡️

Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

.
Montrer que si

A,B

sont diagonalisables,

\varphi

est diagonalisable (deux méthodes)

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️

Rayon de convergence de ∑ tr(A^k)z^k

(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Donner le rayon de

{\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️

Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}

{N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}

, nilpotentes.
Soit

{U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}

{U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}

.
On pose

{A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}}

{B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}}

{\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

{x\mapsto \sin(x)}

{x\mapsto \cos(2x)}

{x\mapsto \sin(2x)}

{\ldots}

{x\mapsto \cos (nx)}

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

➡️

Inversibilité et déterminant

(Oral Tpe)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

a_{i,j}=1

j\equiv i\!+\!1\ [n]\!

, et

a_{i,j}=0

sinon.
Inversibilité de

{B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}

, et calcul de

{\det(B_p)}

➡️

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Matrice triangulaire diagonalisable?

(Oral Petites Mines)
La matrice

A=

\begin{pmatrix}1&a&b&c\\0&1&d&e\\0&0&2&f\\0&0&0&2\end{pmatrix}

est-elle diagonalisable?

➡️

Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)

(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles

A,B

sont semblables dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, elles le sont dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

➡️

Un système différentiel linéaire

(Oral Mines-Nancy)
Résoudre

{\begin{cases}x'=-3x+5y-5z\\y'=-4x+6y-5z\\z'=-4x+4y-3z\end{cases}}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

M^2 diagonalisable => M ?

(Oral Telecom Sud Paris)
Soit

{M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}

, avec

{M^2}

diagonalisable. Montrer que

{M}

est diagonalisable.

➡️

Un polynôme caractéristique

(Oral Tpe)
Déterminer

\chi_{A}

pour

{A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}

, sachant que

{\text{tr}(A)=2}

{A^3+A^2=2A}

➡️

Endomorphisme et dérivation

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Soit

{\Phi\,\colon f\mapsto g}

, avec

{g(x)=f'(x)-xf(x)}

. Étudier les éléments propres de

\Phi

, et déterminer

{\text{Ker}(\Phi^{n})}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Réduction endomorphisme matriciel

(Oral Ccp)
Soit

{\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}

.
L’endomorphisme

{\varphi}

est-il diagonalisable ?

➡️

Matrices stochastiques, valeurs propres

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, à coefficients dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, la somme de chaque ligne valant

{1}

.
Montrer que

{\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}

, avec

{\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}

➡️

Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️

Valeurs propres extrémales

(Oral Mines-Ponts)
Inégalités entre valeurs propres extrémales de

u,v,u+v

, avec

u,v

symétriques.

➡️

Trace et égalité matricielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

avec

{A^3+A^2+A+I_n=0}

. Montrer que

{\text{tr}(A)\leq 0}

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

, et

{a_{i,i}=i}

➡️

Puissances d’une matrice 3×3

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}

. Calculer

{A^n}

pour

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

➡️

Égalité matricielle et valeurs propres

(Oral Tpe)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

vérifiant :

{A^2+A+4I_n=0}

.
Calculer le déterminant et la trace de

{A}

en fonction de

n

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Montrer que

B

est diagonalisable si et seulement si

A

est diagonalisable.

➡️

Égalité matricielle et déterminant

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}

➡️

Matrice inversible? diagonalisable?

(Oral Centrale)
On étudie l’inversibilité et la diagonalisabilité d’une matrice carrée d’ordre

4

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}

telle que :

{\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}

{M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}

Montrer que la matrice

{M}

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisation d’une matrice 4×4

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}

, où

(a,b)\in\mathbb{C}^2

➡️

Diagonalisabilité et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Condition pour que

{B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}}

soit diagonalisable.

➡️

Endomorphisme et trace

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{f:M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr}(M)I_n-M}

➡️

Réduction d’une matrice par blocs

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}

➡️

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

➡️

Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

➡️

Réduction d’endomorphisme matriciel

(Oral Centrale)
Soit

A

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme

\varphi

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

défini par

{\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}

➡️