Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{E}

{\mathbb{C}}

-espace vectoriel de dimension

{n\ge1}

Soit ${u\in{\mathcal L}(E)}$ tel que, pour tout ${x}$ de ${E}$ , ${(x,u(x))}$ est liée.
Montrer que ${u}$ est une homothétie.

Montrer qu’une matrice de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.

Soit ${A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}$ . Montrer que ${\text{tr}(A)=0}$ si et seulement s’il existe $U,V$ dans ${\mathcal M}_n(\mathbb{C})$ telles que ${A=UV-VU}$ .

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