Réduction

Exercices corrigés sur le thème « réduction des matrices et des endomorphismes » pour Spé Mp, Pc, Psi (posés à Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.

Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.

Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}.
Soit {\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})} une base de {E}.
Soit {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i} et {f\in\mathcal{L}(E)} défini par :{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}Trouver les éléments propres de {f}.
{f} est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.