Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {n} un endomorphisme nilpotent de {E}.

  1. Montrer que {\det(\text{Id}+n)=1}.
  2. Soit {v\in\text{GL}(E)} tel que {vn=nv}.
    Montrer que {\det(v+n)=\det(v)}.
  3. Soit {d} diagonalisable tel que {dn=nd}.
    Montrer que {\det(d+n)=\det(d)}.

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