Réduction
Exercices corrigés sur le thème « réduction des matrices et des endomorphismes » pour Spé Mp, Pc, Psi (posés à Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Diagonalisation et blocs

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}

où

{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Déterminer

{\text{rg}(A)}

{\text{rg}(A^{2})}

. La matrice

{A}

est-elle diagonalisable?

➡️

Polynômes caractéristique et minimal

(Oral Ccp)
Soit

A

dans

{\mathcal M}_{5}(\mathbb{R})

inversible, telle que

\text{tr}(A)=6

{A^{3}-3A^{2}+2A=0}

. Donner le polynôme caractéristique de

{A}

, et son polynôme annulateur unitaire minimal.

➡️

Transposition et diagonalisation

(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de

{\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}

➡️

Diagonalisation et puissances

(Oral Ccp)
Soit

{M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}

Diagonaliser

{M}

. Calculer

{M^{p+1}}

pour tout

{p\ge0}

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Spectre de M^T M et de M M^T

(Oral XCachan)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}

.
Comparer le spectre de

{{M}{M}^{\top}}

et de

{{M}^{\top}M}

➡️

Endomorphismes tels que f² = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie. Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

avec

{f^2=-\text{Id}_{E}}

. On montre que dans une certaine base de

E

la matrice de

f

est diagonale par blocs égaux à

{R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

➡️

Diagonalisation et polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que

{\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)}

est diagonalisable dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

➡️

Racine carrée matricielle

(Oral Ccp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

de matrice

{A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}}

dans la base canonique.
Existe-t-il

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

telle que

g^2=f

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{a_{i,i}=4}

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

.
Diagonaliser

A

dans le groupe orthogonal.

➡️

Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

où

{bcd\neq 0}

➡️

Minimum de (f(x)|x)

(Oral Ccp)
Soit

f

un endomorphisme symétrique de

E

euclidien.
On caractérise les vecteurs

x

unitaires qui minimisent

\bigl(f(x)\mid x\bigr)

➡️

Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

On munit

{\mathbb{R}_{n}[X]}

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Étudier l’endomorphisme

{P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}

➡️

Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

➡️

M → AM-MA avec A symétrique réelle

(Oral Tpe)
Soient

{A \in S_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))}

défini par :

{\varphi(M) = AM -MA}

. Former une base orthonormale de diagonalisation de

{\varphi}

. Que vaut

{\text{rg}(\varphi)}

➡️

Un endomorphisme symétrique

(Oral Tpe)
Soit

u

un vecteur unitaire de

{E}

euclidien, et soit

{a \in\mathbb{R}^{*}}

.
On étudie l’endomorphisme

{f_{a}}

E

défini par

{f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}

➡️

Inégalité entre trace et rang

(Oral Ccem)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que

{\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}

➡️

Matrices telles que : A A^T A = I_n

(Oral Ensea)
Chercher les matrices

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

telles que

{A\,{A}^{\top}A = I_{n}}

. Et dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

➡️

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

➡️

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

➡️