Spé
Exercices corrigés pour les classes de 2nde année.

Soit ${a\in]0, 1[}$ . Montrer que pour ${n,p\in\mathbb{N}^*}$ : ${\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}$
En déduire que :
${\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}$ Simplifier ${R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}$ .
Conclure.
➡️

Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
On suppose

{S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}}

(avec les

{a_n\gt 0}

)
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

diverge et

{\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}

.
Montrer

{\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}}

puis

{a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}

.
Réciproque : montrer que

{b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}

➡️

Encadrement de la somme d’une série

(Oral Ensam)
Soit, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

{u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}

.
Montrer que la série

{S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

converge.
Majorer son reste d’indice

{n}

en fonction de

{u_{n+1}}

.
Encadrer

{S}

au moyen de deux sommes partielles consécutives.

➡️

Deux séries de même nature

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}}

telle que

{u_n\rightarrow 0}

.
Soit

{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}

tel que

{a+b+c\ne 0}

.
On pose

{v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}

Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n}

sont de même nature.

➡️

Série des restes d’une série

(Oral Ensam)
On pose, pour

{n\in\mathbb{N}^*}

{u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}

.
Justifier l’existence de

{u_n}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

converge et calculer sa somme.

➡️

Une recherche d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer que :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}}

où

{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

ont même nature.

➡️

La série des j^n/n

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

où

{u_n=\dfrac{j^n}{n}}

➡️

Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite positive décroissante.
On suppose que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

converge.
On pose

{v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

converge.
Exprimer sa somme en fonction de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

➡️

Un calcul d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue

{P\in\mathbb{R}[X]}

définie par

{(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}

➡️

Série des inverses des entiers premiers

(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.

➡️

Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

, et

{\alpha\gt0}

.
On suppose que

{n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

diverge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}}

converge

{\Leftrightarrow\alpha >1}

On suppose ${\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}$ . Soit ${R_{n}=S-S_{n}}$ .
Montrer que ${\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}}$ converge ${\Leftrightarrow \alpha \lt 1}$ .

➡️

Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},\ldots,X_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi :

{P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}

Soit

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

.
Montrer que

{P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

➡️

Un nombre géométrique de lancers

(Oral Mines-Ponts)
On lance

{N}

fois une pièce, où

{N\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Soit

{X}

le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de

{X}

➡️

Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

➡️