Minimisation d’une fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soit {F} l’ensemble des fonctions {f} de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {[0,1]} telles que {f(0)=0} et {f(1)=1}.
Montrer que : {\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}.
Montrer que : {\displaystyle\inf_{f\in F}\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t=\dfrac{1}{\text{e}}}.
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