Un calcul de primitive
Dans cet exercice, on calcule les primitives de fonctions exp(ax)cos(bx) et exp(ax)sin(bx), en ayant recours à l’exponentielle complexe.
Intégration sur un segment
Étude d’une intégrale complexe
Dans cet exercice, on détermine les primitives de f(x)=1/(x-w), où w est un nombre complexe non réel, et on met en garde contre une erreur à ne pas commettre.
Calculs de primitives (2/2)
Exercices sur le thème « calculs de primitives » (2/2)
QCM (intégration)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Intégration ».
Quiz (calculs de primitives)
Un Quiz de 15 questions sur les calculs de primitives de fonctions d’une variable réelle.
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Approximation par somme de Riemann
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})} et {M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}.
Soit {f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})} et {M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=M_{n}(f)+\dfrac{f(1)-f(0)}{2 n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}
Minimisation d’une fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F} l’ensemble des fonctions {f} de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {[0,1]} telles que {f(0)=0} et {f(1)=1}.
Montrer que : {\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}
Soit {F} l’ensemble des fonctions {f} de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {[0,1]} telles que {f(0)=0} et {f(1)=1}.
Montrer que : {\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}
Intégrale fonction de ses bornes
(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}.
Montrer que {f} est prolongeable par continuité sur {\mathbb{R}_{+}}.
Montrer que ce prolongement est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}_{+}^{\ast}} mais pas sur {\mathbb{R}_{+}}.
On pose {f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}.
Montrer que {f} est prolongeable par continuité sur {\mathbb{R}_{+}}.
Montrer que ce prolongement est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}_{+}^{\ast}} mais pas sur {\mathbb{R}_{+}}.
Approximants de Padé de exp(x)
(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)
Approximants de Padé de exp(x)
Intégrales fonctions de leurs bornes
Exercices sur le thème « Intégrales fonctions de leurs bornes »
Intégration sur un segment (2/2)
Exercices sur le thème « intégration sur un segment » (2/2)
Intégration sur un segment (1/2)
Exercices sur le thème « intégration sur un segment » (1/2)
Sommes de Riemann (3/3)
Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (3/3)
Sommes de Riemann (2/3)
Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (2/3)
Sommes de Riemann (1/3)
Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (1/3)
Uniforme continuité (2/2)
Exercices sur le thème « fonctions uniformément continues » (2/2)
Uniforme continuité (1/2)
Exercices sur le thème « fonctions uniformément continues » (1/2)