Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f} continue et positive sur {[a,b]}. On pose {I_n=\displaystyle\int_{a}^{b} f^n(x)\,\text{d}x}. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{I_n}=\max_{x\in[a,b]}f(x)} |
| Exercice 2. Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continue par morceaux. Montrer que {\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow+\infty}\,\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\sin \lambda x\,\text{d}x=0}. |
| Exercice 3. Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continue par morceaux. Prouver {\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow+\infty}\,\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)|\sin \lambda x|\,\text{d}x=\dfrac2\pi\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x}. |
| Exercice 4. Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}}, continue. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\,n\displaystyle\int_{0}^{1} x^nf(x)\,\text{d}x=f(1)}. |
| Exercice 5. Soit {f} de classe {{\mathcal C}^1} sur {[0,1]} avec {f(1)=0}. Montrer : {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\,n^2\displaystyle\int_{0}^{1} x^nf(x)\,\text{d}x=f'(1)} (voir l’exercice précédent) |