Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer que {S_n\sim 2\sqrt n}, avec {S_n=1+\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt3}+\cdots+\dfrac1{\sqrt n}}. |
| Exercice 2. Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {[a,b]} dans {\mathbb{R}^{+*}}. Pour toute {f\in E}, on pose :{I(f)=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\text{d}x}{f(x)}}
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| Exercice 3. Soit {f} une fonction {[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continue. On suppose {\left|\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x\right|=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|\,\text{d}x}. Montrer que {f} a un signe constant sur {[a,b]}. Reprendre l’exercice avec {f:[a,b]\to\mathbb{C}}. |
| Exercice 4. Soit {f} une fonction de classe {{\mathcal C}^1} sur {[a,b]}, et telle que {f(a)=f(b)=0}. Montrer que {\displaystyle\int_{a}^{b} f^2(x)\,\text{d}x\le\dfrac{(b-a)^2}8\displaystyle\int_{a}^{b} f\,'^2(x)\,\text{d}x}. |
| Exercice 5. Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin x}x\,\,\text{d}x\gt\displaystyle\int_{\pi/2}^\pi\dfrac{\sin x}x\,\,\text{d}x}. |