Majoration optimale d’une intégrale

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {\mathcal{E}=\!\{ f\!\in\!{\mathcal C}^2([0,1],\mathbb{R}),\;f(0)\!=\!f(1)\!=\!f'(1)=0 \}}

Question 1.a
Soit {f} dans {\mathcal{E}}. Montrer que : {\displaystyle\forall\, a\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_0^1 f(t) \text{d}t = \displaystyle\int_0^1 P_a(t) f''(t) \text{d}t}où on note {P_a(t)=\dfrac {1}{2}t^2 - a t}.
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Question 1.b
Calculer {\displaystyle\int_0^1 P^{2}_a(t) \text{d}t} et en déduire : {\displaystyle\forall\, f\in\mathcal{E},\;\Big| \displaystyle\int_0^1 f(t) \text{d}t \Big| \leq \dfrac {\sqrt 5}{40} \sup\limits_{[0,1]} |f''|}
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Question 2.a
En discutant sur {a}, calculer {J(a)=\displaystyle\int_0^1 |P_a(t)|\text{d}t}.
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Question 2.b
En déduire : {\displaystyle\Big| \displaystyle\int_0^1 f(t) \text{d}t \Big| \leq \dfrac {2-\sqrt{2}}{12} \sup\limits_{[0,1]} |f''|}
Cela améliore le coefficient {\dfrac {\sqrt 5}{40}} de (1b).
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Question 3.a
Soit {g\in{\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}.
Montrer qu’il existe {f\in \mathcal{E}} avec {f''=g} si et seulement si {\displaystyle\int_0^1 t g(t) \text{d}t=0}.
Si tel est le cas, montrer que : {\displaystyle\forall x \in [0,1], \; \; f(x)=\displaystyle\int_1^x (x-t) g(t)\text{d}t}
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Question 3.b
Soient {a,b} dans {[0,1]} tels que {a\lt b}.
Soit {g\in{\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})} égale à {-1} sur {[0,a]}, égale à {1} sur {[b,1]} et affine sur {[a,b]}.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur {a,b} pour que {\exists\,f\in\mathcal{E},\;f''=g}.
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Question 4
Montrer que l’égalité est impossible dans le résultat obtenu en (2b). On peut cependant montrer que la constante {(2-\sqrt{2})/12} n’est pas améliorable.
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