Approximants de Padé de exp(x)

(Oral Centrale Mp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, et pour tout réel {x}, on note :
{\begin{array}{c}U_n(x)=\dfrac{1}{n!}(x-x^2)^n,\quad L_n(x)=U_n^{(n)}(x)\\\\ R_n(x)={\displaystyle\int_0^1}\text{e}^{xt}L_n(t)\,\text{d}t\end{array}}

  1. Calculer les coefficients du polynôme {L_{n}(x)}.
    • Prouver que {R_n(x)=(-x)^n{\displaystyle\int_0^1}\text{e}^{xt}\,U_n(t)\,\text{d}t}.
    • En déduire {\left|x^{n+1}R_n(x)\right|\le\dfrac{\left|x\right|^{2n+1}\text{e}^{\left|x\right|}}{4^n\,n!}}.
    • Pour {n\in\mathbb{N}}, montrer qu’il existe {P_n,Q_{n}} dans \mathbb{R}_{n}[X] tels que : {x^{n+1}R_n(x)=Q_n(x)\text{e}^x-P_n(x)}
    • Montrer l’unicité du couple {(P_{n},Q_{n})}.
  2. Montrer que {Q_{n}(x)=P_{n}(-x)} et que :{P_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(2n-k)!}{k!(n-k)!}\,x^k}
  3. On va voir deux conséquences de ce qui précède (la première locale, valable au voisinage de {0}, et l’autre globale, sur tout le segment {[-1,1]}).

      Montrer qu’à l’origine on a :{\text{e}^x\!=\!F_{n}(x)\!+\!\text{o}(x^{2n})\text{\ où\ }F_{n}(x)\!=\!\dfrac{P_{n}(x)}{P_{n}(-x)}}Montrer que, sur {[-1,1]}, on a : {\left|{\text{e}^x-\dfrac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}}\right|\le\dfrac{\left|x\right|^5}{80}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).