Uniforme continuité (2/2)

Exercice 1.
Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, avec {0\lt a\lt b}.
On suppose qu’il existe {k\ge0} tel que {\forall\, x\ne y\in[a,b],\;|f(y)-f(x)|\lt k|y^3-x^3|}

  1. Montrer que {f} est uniformément continue.
  2. Montrer que {\varphi:x\mapsto f(x)-kx^3} est strictement monotone sur {[a,b]}.
  3. On suppose {\forall\,x\in[a,b],\;a^3\le f(x)\le kb^3}
    Montrer : {\exists!\,\alpha\in[a,b],\;\varphi(\alpha)=0}.

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Exercice 2.
Soient {f,g} deux fonctions continues sur {[a,b]}.
On pose {M(\alpha)=\displaystyle\max_{x\in[a,b]}(f(x)+\alpha g(x))}.
Montrer que {M} est lipschitzienne sur {\mathbb{R}}.
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Exercice 3.
On se donne {\alpha\in]0,1[}. Montrer que {x\mapsto\ x^\alpha} est uniformément continue sur {\mathbb{R}^+}.
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Exercice 4.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, uniformément continue.
Montrer qu’il existe {a,b\ge0} tels que : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;|f(x)|\le a|x|+b}
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