Un calcul de primitive
Dans cet exercice, on calcule les primitives de fonctions exp(ax)cos(bx) et exp(ax)sin(bx), en ayant recours à l’exponentielle complexe.
Intégration sur un segment 2
Étude d’une intégrale complexe
Dans cet exercice, on détermine les primitives de f(x)=1/(x-w), où w est un nombre complexe non réel, et on met en garde contre une erreur à ne pas commettre.
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Approximation par somme de Riemann
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})} et {M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}.
Soit {f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})} et {M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=M_{n}(f)+\dfrac{f(1)-f(0)}{2 n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}
Minimisation d’une fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F} l’ensemble des fonctions {f} de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {[0,1]} telles que {f(0)=0} et {f(1)=1}.
Montrer que : {\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}
Soit {F} l’ensemble des fonctions {f} de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {[0,1]} telles que {f(0)=0} et {f(1)=1}.
Montrer que : {\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}
Intégrale fonction de ses bornes
(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}.
Montrer que {f} est prolongeable par continuité sur {\mathbb{R}_{+}}.
Montrer que ce prolongement est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}_{+}^{\ast}} mais pas sur {\mathbb{R}_{+}}.
On pose {f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}.
Montrer que {f} est prolongeable par continuité sur {\mathbb{R}_{+}}.
Montrer que ce prolongement est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}_{+}^{\ast}} mais pas sur {\mathbb{R}_{+}}.
Approximants de Padé de exp(x)
(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)
Approximants de Padé de exp(x)
Intégrale et sommes de Riemann
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos(t)+x^{2})\,\text{d}t}
On calcule {I(x)}à l’aide de sommes de Riemann.
On calcule {I(x)}à l’aide de sommes de Riemann.
Une équation intégrale
(Oral X-Cachan)
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.