Spé

Exercices corrigés pour les classes de 2nde année.

Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent {M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}} avec {M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}.
Soit {\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}} et {R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}.
Montrer : {\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}.

Racines carrées matricielles

(Oral Mines-Ponts)
Pour {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}, on note :{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}Trouver les {A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telles que {E_A} soit fini non vide.
Que dire alors de {\text{Card}(E_A)} ?

Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}.
Soit {\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})} une base de {E}.
Soit {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i} et {f\in\mathcal{L}(E)} défini par :{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}Trouver les éléments propres de {f}.
{f} est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?

Égalité matricielle AB-BA=B

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}
Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
En déduire que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)

Endomorphisme de suites

(Oral CCinp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})} définie par {f(u)=v} où {\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}Donner les éléments propres de {f}.

Une forme linéaire sur Rn[X]

(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Pour {i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}, on note {L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}.
On suppose {|a_{i,i}|>L_{i}} pour tout {i}.
Montrer que {A} est inversible.
On suppose {|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}} pour tous {i\neq j}.
Montrer là encore que {A} est inversible.

Un produit trigonométrique

(oral École Navale)
Pour {0\le k\le n-1}, soit {\omega_{k}=e^{2ik\pi/n}}.
Avec {n} impair, calculer {P=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1-\omega_{k}}{1+\omega_{k}}}.
Exprimer {P} en fonction de {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan \dfrac{k\pi}{n}}.

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}.
Montrer que {f} est prolongeable par continuité sur {\mathbb{R}_{+}}.
Montrer que ce prolongement est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}_{+}^{\ast}} mais pas sur {\mathbb{R}_{+}}.

Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?

Boules et urnes

On considère trois urnes : {U_{1}} (deux boules blanches et trois rouges), {U_{2}} (deux boules vertes et quatre blanches), {U_{3}} (cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?

Somme de probabilités

Soit {A,B,C} trois événements. Simplifier :{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}Ensuite on généralise ce résultat.