Spé
Exercices corrigés pour les classes de 2nde année.

Groupes d’endomorphismes de même rang

(Oral Centrale). On considère un sous-groupe quelconque de

{\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est un

{\mathbb{K}}

-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de

{E}

➡️

Un groupe de matrices non inversibles

(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble

{G}

de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que

{G}

est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de

{G}

ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.

➡️

Algorithme de Babylone matriciel

Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation

{A\to(A+A^{-1})/2}

(généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)

➡️

Inégalités à la Tchebychev

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on établit un encadrement du nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à un entier n donné.

➡️

Égalités de coefficients binomiaux

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on résout certains cas de répétitions de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal.

➡️

Suite de Fibonacci modulo 41

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on montre entre autres choses que, modulo 41, la suite de Fibonacci est périodique de période 40.

➡️

Facteurs premiers des aⁿ-1

(Oral Centrale) On montre que si

{a-1}

{a^n-1}

ont les mêmes facteurs premiers, alors

{n=2}

{a}

est un nombre de Mersenne (et la réciproque est vraie).

➡️

Autour des polynômes de Bernoulli

(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de

{\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})}

muni de la norme infinie.

➡️

Relations entre sommes harmoniques

(Oral Centrale). On établit des relations entre des

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{P(k)}{k}}

, où

{P}

est un polynôme.

➡️

Suite récurrente et arithmétique

(Oral Centrale). On relie une suite récurrente d’ordre 5 à la trace des puissances d’une matrice. On en déduit une propriété arithmétique de cette suite.

➡️

Irréductibilité des polynômes de Tchebychev

(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie les propriétés d’irréductibilité dans

{\mathbb{Z}[X]}

des polynômes de Tchebychev.

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Zéros d’un polynôme de Maclaurin

(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.

➡️

Racines de dérivées n-ièmes

(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées

{n}

-ièmes des fonctions définies par

{f(x)=exp(1/(1-x^2))}

{g(x)=exp(1/(1+x^2))}

➡️

Racines d’une suite de polynômes

(Oral Centrale) On étudie les propriétés des racines de

{P_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}}

➡️

Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)

(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de

{\mathbb{Z}[X]}

, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.

➡️

Produit scalaire et dérivées partielles

(Oral Centrale). Avec une méthode basée sur des dérivées partielles de fonctions génératrices, on étudie un produit scalaire discret sur

{\mathbb{R}_n[X]}

➡️

Polynômes affinement équivalents

(Oral Centrale). Deux polynômes sont dits affinement équivalents si on passe de l’un à l’autre par un isomorphisme affine. On étudie cette relation sur ℝ[X].

➡️

Opérateur Δ sur les polynômes

(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur

{\Delta}

sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme

{\sum P(n)x^n}

, où

{P}

est un polynôme donné.

➡️

Polynômes scindés simples

(Oral Centrale). On détermine des conditions nécessaires pour qu’un polynôme à coefficients réels soit scindé simple.

➡️

Composition de polynômes

(Oral Centrale). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme A puisse s’écrire comme le composé B(C(X)) de deux polynômes.

➡️

Intégrale trigonométrique à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Un exercice très complet, pour calculer

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}

➡️

Intégrale et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
On admet que

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}

.
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}

.
En déduire

{I(x)}

.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.

➡️

Intégrale à paramètre et série

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}}

{I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}

Montrer que

{I}

est

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}

.
En déduire

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}

➡️

Intégrales généralisées et séries

(Oral Mines-Ponts)
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».

➡️

Calcul d’une intégrale complexe

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}}

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est croissante et continue sur

{\mathbb{R}}

,
Écrire

{F(x)}

comme somme de série si

{x>0}

.
Étudier la limite de

{F}

{+\infty}

➡️

Intégrabilité d’une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{a>1}

. On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}

.
Montrer que

{F}

est

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que

{F}

est intégrable sur

{\mathbb{R}}

➡️

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit

{Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, définie par :

{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Prouver que

{Z_n}

est diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Procéder à la diagonalisation efffective de

{Z_n}

.
Donner l’exemple de

{n=5}

{n=6}

➡️

Le centre d’appels téléphoniques

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter

{n}

clients.
Chacun décroche avec une probabilité

{p\in ]0,1[}

.
Dans une 1ère vague d’appels,

{X_{1}}

clients décrochent.
Soit

{X_{2}}

le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.

{X_{1},X_{2}}

sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de

{X_k}

?
Quelle est la loi du numéro

{Y_{i}}

de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?

➡️

Suites harmoniques et logarithme

(Oral Centrale)
Pour

{n,p}

dans

{\mathbb{N}^*}

, on pose

{L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}

.
Montrer que

{p\mapsto L_{p}(n)}

converge vers une limite

{L(n)}

.
Montrer que

{L(mn)=L(m)+L(n)}

.
Montrer que

{n\mapsto L(n)}

est strictement croissante.
Montrer que

{L(n)=\ln (n)}

➡️

Une moyenne de distances

(Oral CCInp)
Soit

{A}

un sommet d’un polygône régulier convexe

{\mathcal{P}_n}

{n}

sommets, de centre

{\Omega}

.
On note

{R=d(\Omega,A)}

. Calculer la moyenne

{M_n}

des distances de

{A}

aux autres sommets de

{\mathcal{P}_n}

➡️

Un exercice Rock’n’Rolle

(Oral Tpe)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

.
On suppose que

{K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}}

est infini.
Montrer que

{P}

est constant.

➡️

Probabilités et diagonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. à valeurs dans

{[[1,n+1]]}

, avec :

{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}

Loi de

{X}

{X,Y}

sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice

{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}

de coefficients

{m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}

➡️

Rétablir l’honnêteté d’une pièce

(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité

{p\in\,]0,1[}

{p\ne\dfrac{1}{2}}

.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?

➡️

Inégalités et espérance

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{Z>0}

une v.a.r ayant une variance.
Soit

{a \in\,]0,1[}

. Montrer que :

{\mathbb{P}(Z\geq a\mathrm{E}(Z))\geq (1-a)^{2}\dfrac{\mathrm{E}(Z)^{2}}{\mathrm{E}(Z^{2})}}

➡️

Tchebychev le bien aimé

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X}

une variable aléatoire de loi

{\mathcal{P}(\lambda)}

.
Montrer que

{\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}

.
Montrer que

{\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}

➡️

Fonctions de variables de même loi

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},X_{2}}

deux v.a.r à valeurs dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, indépendantes et de même loi.
Soit

{Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}

{Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}

Montrer que

{Y_{1}}

a une espérance et une variance.
Calculer

{E\left(Y_{1}\right)}

et montrer que

{\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}

➡️

Étude d’extrema locaux

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}}

{f(0,0)=1}

Continuité et dérivées partielles de

{f}

{(0,0)}

?
Déterminer les extrema de

{f}

sur

{\mathbb{R}^{2}}

➡️

M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))}

{M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}

.
On suppose :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}

.
On suppose :

{M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Équivalents d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est

{\mathcal{C}^{2}}

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Trouver un équivalent de

{F}

{+\infty}

, et en

{0}

➡️

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}

.
Montrer que

{F}

est définie sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Calculer

{F(0)}

{\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}

.
Calculer

{F(x)}

pour tout

{x\gt0}

➡️

Une autre intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{x>1}

, on pose :

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}

.
Vérifier que

{F}

est définie.
Préciser

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}

. Calculer

{F(x)}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

, et

{g(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f(x t)\ln(t)\mathrm{d}t}

.
Monter que

{g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Préciser

{g(0)}

{g'(0)}

➡️

Série entière des ln(n)x^n

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}

.
Soit

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}}

{g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}

Donner le rayon de

{f}

{g}

, et calculer

{f(x)}

.
Montrer que

{f(x) \underset{1}\sim g(x)}

et trouver

{\displaystyle\lim_{-1}g(x)}

➡️

Série entière à la Wallis

(Oral Mines-Ponts)
Pour tout

{n\ge\mathbb{N}}

, on pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}

.
Étudier la série entière

{\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}

➡️

Suite définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout

{n\in\mathbb{N}^{*}}

{\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}

Montrer que la suite

{\left(u_{n}\right)}

est convergente.
Donner un équivalent de

{u_{n}}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Condition suffisante d’intégrabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}}

continue par morceaux.
On suppose que

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}

.
Montrer que

{f}

est intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Une intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est intégrable sur

{\mathbb{R}^{+^{*}}}

.
Monrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}

➡️

Une intégrale pas si complexe

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}x}{\left(1+x^{2}\right) \left(1+ixy\right)}}

➡️

Approximation par somme de Riemann

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})}

{M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}

Montrer que : ${\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=M_{n}(f)+\dfrac{f(1)-f(0)}{2 n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}$

➡️